Persamaan dan pertidaksamaan linear/kuadrat - Aljabar & Fungsi Materi Matematika Wajib Kelas 10

Berikut artikel panjang tentang persamaan dan pertidaksamaan linear/kuadrat dalam bahasa Indonesia.

1. Pengantar: Mengapa Persamaan dan Pertidaksamaan Itu Penting?

Dalam matematika, persamaan dan pertidaksamaan adalah “bahasa” untuk menyatakan hubungan antar besaran. Hampir semua masalah dalam sains, teknik, ekonomi, hingga kehidupan sehari-hari dapat diterjemahkan menjadi persamaan atau pertidaksamaan.

• Ketika kita ingin menghitung harga total setelah diskon → bisa dibuat persamaan.

• Ketika kita ingin mencari batas minimal modal agar tidak rugi → bisa dibuat pertidaksamaan.

• Gerakan benda, lintasan peluru, bahkan bentuk antena parabola → seringkali melibatkan persamaan kuadrat.

Secara garis besar, kita akan membahas:

1. Persamaan dan pertidaksamaan linear (orde/pangkat tertinggi 1).

2. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat (orde/pangkat tertinggi 2).

Keduanya menjadi dasar penting untuk materi matematika yang lebih tinggi seperti fungsi, kalkulus, dan statistik.

2. Persamaan Linear

2.1. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabel sama dengan 1 dan hanya memiliki satu variabel. Bentuk umumnya:

[
ax + b = 0
]

dengan:

• ( a \neq 0 )

• ( x ) adalah variabel

• ( a ) dan ( b ) adalah konstanta (bilangan tetap).

Contoh:

• ( 2x + 5 = 0 )

• ( -3x + 7 = 1 )

• ( x - 4 = 0 )

Semua contoh di atas pangkat tertinggi variabelnya adalah 1 → maka disebut linear.

2.2. Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel

Tujuan utama menyelesaikan persamaan adalah mencari nilai variabel yang membuat persamaan tersebut benar.

Contoh:

[
2x + 5 = 0
]

Langkah:

1. Pindahkan 5 ke ruas kanan:
   [
   2x = -5
   ]

2. Bagi kedua ruas dengan 2:
   [
   x = -\frac{5}{2}
   ]

Jadi, solusi persamaan tersebut adalah ( x = -\frac{5}{2} ).

Kunci penyelesaian:

• Pindah ruas → tanda berubah.

• Kalikan atau bagi kedua ruas dengan angka yang sama (selain 0).

2.3. Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear juga bisa memiliki dua variabel, misalnya ( x ) dan ( y ). Bentuk umumnya:

[
ax + by + c = 0
]

Contoh:

• ( 2x + 3y - 6 = 0 )

• ( x - y = 4 ) → bisa ditulis sebagai ( x - y - 4 = 0 )

Persamaan linear dua variabel tidak memiliki satu solusi unik saja, tetapi biasanya berupa himpunan pasangan ((x,y)) yang memenuhi. Namun, bila kita punya dua persamaan linear dua variabel, umumnya kita bisa mencari satu titik potong (solusi) yang memenuhi keduanya.

Contoh sistem persamaan:

[
\begin{cases}
2x + y = 7 \
x - y = 1
\end{cases}
]

Kita dapat menyelesaikan dengan metode substitusi atau eliminasi.

3. Pertidaksamaan Linear

3.1. Pengertian Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear mirip dengan persamaan linear, hanya saja tanda “=” diganti dengan salah satu dari:

• ( < ) (lebih kecil)

• ( > ) (lebih besar)

• ( \le ) (lebih kecil atau sama dengan)

• ( \ge ) (lebih besar atau sama dengan)

Contoh:

• ( 2x + 3 > 7 )

• ( -x + 5 \le 2 )

• ( 3y - 4 \ge 2 )

Tujuan menyelesaikan pertidaksamaan adalah mencari himpunan nilai variabel yang membuat pertidaksamaan itu benar, bukan hanya satu nilai.

3.2. Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Contoh:

[
2x + 3 > 7
]

Langkah:

1. Kurangi kedua ruas dengan 3:
   [
   2x > 4
   ]

2. Bagi kedua ruas dengan 2:
   [
   x > 2
   ]

Artinya, semua nilai x yang lebih besar dari 2 adalah solusi.

Hal penting yang sering dilupakan:

Jika kita mengalikan atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan harus dibalik.

Contoh:

[
-3x < 6
]

Bagi kedua ruas dengan -3:

[
x > -2
]

Tanda “<” berubah menjadi “>” karena dibagi bilangan negatif.

3.3. Interpretasi Grafis Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Jika ditampilkan pada garis bilangan:

• ( x > 2 ) → titik 2 kosong (tidak diarsir) dan garis ke kanan.

• ( x \ge 2 ) → titik 2 diisi (diarsir penuh) dan garis ke kanan.

• ( x < -1 ) → titik -1 kosong dan garis ke kiri.

Ini membantu membayangkan himpunan solusi sebagai interval.

4. Persamaan Kuadrat

4.1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabel sama dengan 2. Bentuk umumnya:

[
ax^2 + bx + c = 0
]

dengan:

• ( a \neq 0 )

• ( a, b, c ) konstanta

• ( x ) variabel

Contoh:

• ( x^2 - 5x + 6 = 0 )

• ( 2x^2 + 3x - 2 = 0 )

• ( -x^2 + 4x - 1 = 0 )

4.2. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada beberapa metode:

4.2.1. Faktorisasi

Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan, kita dapat menuliskannya sebagai:

[
ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s) = 0
]

Contoh:

[
x^2 - 5x + 6 = 0
]

Kita cari dua bilangan yang:

• jumlahnya = -5

• hasil kalinya = 6

Bilangan itu adalah -2 dan -3.

[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
]

Maka:

• ( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 )

• ( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 )

Jadi, solusi persamaan ini adalah ( x = 2 ) dan ( x = 3 ).

4.2.2. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Untuk persamaan:

[
ax^2 + bx + c = 0
]

Rumus umum:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

Bagian di dalam akar, yaitu ( b^2 - 4ac ), disebut diskriminan dan dilambangkan dengan ( D ).

• Jika ( D > 0 ) → dua solusi real berbeda.

• Jika ( D = 0 ) → satu solusi real (kembar).

• Jika ( D < 0 ) → tidak ada solusi real (solusi imajiner).

Contoh:

[
2x^2 + 3x - 2 = 0
]

Di sini:

• ( a = 2 )

• ( b = 3 )

• ( c = -2 )

Hitung diskriminan:

[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25
]

Karena ( D = 25 > 0 ), maka ada dua solusi real:

[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}
]

Sehingga:

• ( x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} )

• ( x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 )

Jadi solusi: ( x = \frac{1}{2} ) dan ( x = -2 ).

5. Bentuk Grafik Persamaan Linear dan Kuadrat

5.1. Grafik Persamaan Linear

Jika kita menggambar persamaan linear dua variabel seperti:

[
y = ax + b
]

Maka grafiknya adalah garis lurus.

• ( a ) menentukan kemiringan garis.

• ( b ) menentukan titik potong dengan sumbu ( y ) (disebut intersep).

Contoh:

[
y = 2x + 1
]

• Untuk ( x = 0 ), ( y = 1 ) → titik (0,1)

• Untuk ( x = 1 ), ( y = 3 ) → titik (1,3)

Hubungkan titik-titik tersebut, kita mendapat garis lurus yang terus memanjang.

5.2. Grafik Persamaan Kuadrat

Untuk persamaan kuadrat:

[
y = ax^2 + bx + c
]

Grafiknya adalah kurva yang disebut parabola.

• Jika ( a > 0 ) → parabola terbuka ke atas.

• Jika ( a < 0 ) → parabola terbuka ke bawah.

Parabola memiliki titik puncak yang disebut titik ekstrem (maksimum atau minimum). Lokasi titik puncak dapat diketahui dengan:

[
x_p = -\frac{b}{2a}
]

Kemudian nilai ( y_p ) diperoleh dengan substitusi ( x_p ) ke persamaan.

Contoh:

[
y = x^2 - 4x + 3
]

• ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 3 )

• ( x_p = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 )

• ( y_p = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 )

Jadi, titik puncak parabola adalah ( (2, -1) ).
Selain itu, akar-akar persamaan ( x^2 - 4x + 3 = 0 ) adalah ( x = 1 ) dan ( x = 3 ). Artinya, parabola memotong sumbu ( x ) di titik (1,0) dan (3,0).

6. Pertidaksamaan Kuadrat

6.1. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat berbentuk:

• ( ax^2 + bx + c > 0 )

• ( ax^2 + bx + c < 0 )

• ( ax^2 + bx + c \ge 0 )

• ( ax^2 + bx + c \le 0 )

Dengan ( a \neq 0 ).

Tujuannya adalah mencari himpunan nilai x yang membuat pertidaksamaan tersebut benar.

6.2. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Cara yang umum digunakan:

1. Cari akar-akar persamaan ( ax^2 + bx + c = 0 ).

2. Tentukan arah parabola:

   • ( a > 0 ) → parabola terbuka ke atas.

   • ( a < 0 ) → parabola terbuka ke bawah.

3. Gunakan diagram garis bilangan atau gambar parabola untuk menentukan interval di mana fungsi bernilai positif atau negatif.

4. Sesuaikan dengan tanda pertidaksamaan.

Contoh 1: ( x^2 - 5x + 6 > 0 )

Langkah 1: Cari akar-akar persamaan:

[
x^2 - 5x + 6 = 0
]

Kita sudah tahu faktornya:

[
(x - 2)(x - 3) = 0
]

Akar: ( x = 2 ) dan ( x = 3 ).

Langkah 2: Karena koefisien ( x^2 ) adalah 1 (positif), parabola terbuka ke atas.

Untuk menentukan tanda pada setiap interval, kita perhatikan pembagian garis bilangan oleh akar 2 dan 3:

• Interval 1: ( x < 2 )

• Interval 2: ( 2 < x < 3 )

• Interval 3: ( x > 3 )

Ambil nilai uji:

• Untuk ( x = 1 ) (interval 1):
  ( 1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0 ) → positif.

• Untuk ( x = 2,5 ) (interval 2):
  ( (2,5)^2 - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0 ) → negatif.

• Untuk ( x = 4 ) (interval 3):
  ( 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 ) → positif.

Kita ingin:

[
x^2 - 5x + 6 > 0
]

Artinya, kita memilih bagian yang positif → interval 1 dan 3.

Jadi himpunan solusi:

[
x < 2 \quad \text{atau} \quad x > 3
]

Jika pertidaksamaannya ( \ge 0 ), maka titik 2 dan 3 juga ikut:

[
x \le 2 \quad \text{atau} \quad x \ge 3
]

Contoh 2: ( x^2 - 4x + 3 \le 0 )

Langkah 1: Akar persamaan:

[
x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0
]

Akar: ( x = 1 ) dan ( x = 3 ).

Langkah 2: Koefisien ( x^2 ) adalah 1 → parabola terbuka ke atas.

Dengan cara yang sama, tanda fungsi:

• Positif di luar interval [1,3]

• Negatif di dalam interval (1,3)

Karena yang diminta ( \le 0 ), artinya kita ambil bagian yang negatif atau nol, yaitu:

[
1 \le x \le 3
]

7. Perbandingan Singkat: Linear vs Kuadrat

7.1. Bentuk Umum dan Tingkat Kesulitan

• Linear:

  • Bentuk umum satu variabel: ( ax + b = 0 ).

  • Bentuk grafik: garis lurus.

  • Biasanya hanya memiliki satu solusi (kecuali kasus khusus).

• Kuadrat:

  • Bentuk umum: ( ax^2 + bx + c = 0 ).

  • Bentuk grafik: parabola.

  • Dapat memiliki dua, satu, atau tidak ada solusi real, bergantung nilai diskriminan.

Secara umum, persamaan kuadrat lebih kompleks daripada linear karena melibatkan pangkat 2 dan sering membutuhkan teknik khusus (faktorisasi, melengkapkan kuadrat, atau rumus kuadrat).

7.2. Aplikasi dalam Kehidupan

• Persamaan linear sering muncul dalam:

  • Perhitungan keuangan sederhana (untung-rugi, harga total).

  • Masalah kecepatan konstan.

  • Hubungan proporsional antara dua besaran.

• Persamaan kuadrat muncul dalam:

  • Gerak benda yang dipengaruhi gravitasi (lintasan parabola).

  • Perancangan reflektor parabola (misalnya parabola antena).

  • Masalah optimasi sederhana (mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi).

Persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat adalah fondasi penting dalam aljabar.

• Persamaan linear → hubungan lurus, penyelesaian relatif sederhana, dan grafik berupa garis.

• Pertidaksamaan linear → bukan satu nilai saja, melainkan himpunan nilai pada suatu interval yang memenuhi syarat.

• Persamaan kuadrat → hubungan yang melibatkan pangkat dua, dengan grafik berbentuk parabola dan bisa memiliki sampai dua solusi real.

• Pertidaksamaan kuadrat → memanfaatkan sifat parabola untuk menentukan interval di mana fungsi bernilai positif atau negatif.

Dengan memahami konsep dasar, bentuk umum, dan metode penyelesaian, kita akan lebih mudah mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan serta pertidaksamaan di berbagai konteks, baik di bangku sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.

Kalau kamu mau, kita bisa lanjut ke sesi latihan: aku bisa buatkan kumpulan soal persamaan dan pertidaksamaan linear/kuadrat lengkap dengan pembahasannya.